用矩陣計算 Markowitz 的 mean-variance portfolio 比例


Markowitz 的 mean-variance portfolio

在 gretl 中,用矩陣計算 Markowitz 的 mean-variance portfolio 比例是相當方便的,主要是 gretl 的矩陣運算很接近原來的矩陣數學之表達方式。

  • r = {r1,r2,…,rk} 共有 k 種 asset returns, 樣本數 T,r 的維度 Txk
  • v 是 r 的 covariance matrix (kxk)
  • w 是各 asset 的權重 matrix, w=(w1,w2,..,wk)’, 維度 kx1
  • rw 是 portfolio 的 return,維度 Tx1
  • I 是維度 kx1 的 1 向量

在允許 short selling 的情況下,Markovitz 的 mean-variance portfolio 的推導用矩陣來表示,看起來其實是很簡潔的:

min w’vw
st. I’w=1

求解之後,得 (可參見 Tsay,2013, An Intro. to Analysis of Fin. Data with R,p.260)

w=v-1I/I’v-1I

利用我「 財務計量」一書中的 範例資料檔 open ex-CAPM-2004-09-daily.gdt 來進行示範

open ex-CAPM-2004-09-daily.gdt
   list rlist = r_*
   matrix r = {rlist}
   matrix I=ones(nelem(rlist),1)
   matrix v=mcov(r)
   w = (inv(v)*I)/(I'inv(v)*I)
   rownames(w,rlist)
print w

執行結果

很快速地幫我們計算出各股應持有的比例:
樣本是 2004-2009的日資料。看起來,應該是要賣出 apple 和 bac, ibm 持股要 54%,ms 約14%。

? print w
w (8 x 1)

 r_apple  -0.00012722
   r_bac    -0.085500
  r_cola      0.20111
r_disney     0.033535
 r_fedex     0.054971
    r_ge      0.11077
   r_ibm      0.54605
    r_ms      0.13919
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